Algorithmische Geometrie polyedrische und algebraische by Joswig Michael, Theobald Thorsten

By Joswig Michael, Theobald Thorsten

Theobald T. Algorithmische Geometrie.. polyedrische und algebraische Methoden (de)(Vieweg, 2007)(ISBN 3834802816)

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Wir nehmen an, dass das primale Problem zulässig und beschränkt ist. Sei v ∈ R n ein Optimalpunkt des primalen Problems. 9 ein Vektor y = (y1 , . . , y m ) mit yA = c , y ≥ 0, für den höchstens diejenigen Komponenten von 0 verschieden sind, die zu den aktiven Nebenbedingungen von v gehören. Folglich gilt cv = (yA)v = y( Av) = yb . Zusammen mit dem schwachen Dualitätssatz folgt, dass das duale Problem beschränkt ist sowie die Gleichheit der Optimalwerte. Die Fälle, bei denen eines der Probleme unbeschränkt oder unzulässig ist, verbleiben als Übungsaufgabe.

21 Startet man in dem zuvor diskutierten Beispiel von der Basis der Ecke (1, 1, 0) T zur Indexmenge {3, 4, 5} und wählt i = 3, erhält man s = (0, 0, 1) T . In Richtung s verbessert sich wegen cs = (0, 0, 1) · (0, 0, 1) T = 1 die Zielfunktion c. Aufgrund der zur letzten Zeile von A korrespondierenden Ungleichung x1 + 2x2 + x3 ≤ 1 ergibt sich jedoch λs = 0, so dass v = v und kein echter Fortschritt gemacht wird. Es hat lediglich ein sogenannter Basiswechsel stattgefunden. 1 stellt eine Vorstufe des Simplex-Algorithmus dar.

N}. Die algorithmische Umrechnung von H- in V -Darstellungen von Polytopen und umgekehrt ist ein zentrales Thema der algorithmischen Geometrie und wird in Kapitel 5 diskutiert. 12. Der Schnitt eines Polytops mit einem beliebigen affinen Unterraum ist ein Polytop. 13. Für ein Polytop P gilt: a. Der Durchschnitt einer Menge von Seiten von P ist eine Seite von P. b. Jeder Grat von P ist der Durchschnitt von genau zwei Facetten von P. c. Ist G Seite von P und F Seite von G, so ist F auch Seite von P.

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