# Algebra [Lecture notes] by Burkhard Külshammer

By Burkhard Külshammer

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D) Die Ideale in Z sind genau die Mengen nZ = (n) (n ∈ IN0 ). Man erh¨alt so die bekannten Restklassenringe Z/nZ. 36 KAPITEL 10. HOMOMORPHISMEN, IDEALE, RESTKLASSENRINGE (e) F¨ ur Ideale I und J eines Ringes R sind auch die Summe I + J := {i + j : i ∈ I, j ∈ J} k und das Produkt IJ := { i=1 xi yi : xi ∈ I, yi ∈ J, k ∈ IN0 } Ideale in R. Dabei gilt: (i) I + J = (I ∪ J), IJ = (xy : x ∈ I, y ∈ J) ⊆ I ∩ J, (ii) (IJ)K = I(JK), I(J + K) = IJ + IK, (I + J)K = IK + JK. (f) In Z gilt: (m)(n) = (mn), (m) + (n) = (ggT(m, n)); offenbar ist n¨amlich m, n ∈ (ggT(m, n)), und umgekehrt ist ggT(m, n) = am + bn ∈ (m) + (n) f¨ ur geeignete a, b ∈ Z.

Mr ) = (m1 . . mr ) folgt die Behauptung. 8 Die Eulersche ϕ-Funktion wird definiert durch ϕ(n) := |(Z/nZ)× | f¨ ur n ∈ IN. Man nennt (Z/nZ)× die prime Restklassengruppe und ihre Elemente prime Restklassen modulo n. 38 KAPITEL 10. HOMOMORPHISMEN, IDEALE, RESTKLASSENRINGE Bemerkung: (i) F¨ ur a ∈ Z gilt: a + nZ ∈ (Z/nZ)× ⇔ ∃b ∈ Z : (a + nZ)(b + nZ) = 1 + nZ ⇔ ⇔ ∃b, c ∈ Z : ab + nc = 1 ⇔ ggT(a, n) = 1. ab+nZ Daher ist ϕ(n) die Anzahl der nat¨ urlichen Zahlen a mit 1 ≤ a ≤ n und ggT(a, n) = 1.

Dann ist also qs = pr u f¨ ur ein u ∈ R× , da qs irreduzibel ist. Folglich ist 0 = (p1 . . pr−1 −q1 . . qs−1 u)pr , also p1 . . pr−1 = q1 . . qs−1 u. Nach Induktionsvoraussetzung ist r − 1 = s − 1 (also auch r = s), und bei geeigneter Numerierung ist pi zu qi bzw. qi u assoziiert f¨ ur i = 1, . . , r − 1. Die Behauptung folgt. 1 F¨ ur einen Integrit¨ atsbereich R sind ¨ aquivalent: (1) Jedes Element a ∈ R \ R× mit a = 0 l¨ aßt sich als Produkt von Primelementen schreiben. (2) Jedes Element a ∈ R\R× mit a = 0 l¨ aßt sich als Produkt irreduzibler Elemente schreiben, und ist p1 .