Algebra II by Marc A. Nieper-Wißkirchen

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Die Abbildung B × C × B × C → D, (b, c, b , c ) → bb ⊗ cc ist A-linear in jedem Faktor, so daß sie einen Homomorphismus B⊗C ⊗B⊗C → D, b⊗c⊗b ⊗c → bb ⊗cc von A-Moduln induziert. Durch Klammersetzung erhalten wir also einen Homomorphismus D ⊗ D → D von A-Moduln, welcher wiederum zu einer A-bilinearen Abbildung µ : D × D → D, (b ⊗ c, b ⊗ c ) → bb ⊗ cc korrespondiert. 45 Sei A ein kommutativer Ring und seien φ : A → B und ψ : A → C zwei kommutative A-Algebren. Wir definieren eine kommutative A-Algebra B ⊗A C wie folgt: Als abelsche Gruppe sei B ⊗A C die abelsche Gruppe des A-Moduls D = B A ⊗A C A .

3. Der erste Fall tritt genau dann ein, wenn S −1 p = (1), also genau dann, wenn p ∩ S = ∅. Der zweite Fall tritt genau dann ein, wenn S −1 p ein Primideal ist. 9. Sei A ein kommutativer Ring. Daß zu einem nicht nilpotenten Element f ∈ A ein Primideal p von A mit f ∈ / p existiert, kann mittels Lokalisierung so bewiesen werden: Da f nicht nilpotent ist, ist A[f −1 ] = 0. Damit besitzt A[f −1 ] ein maximales Ideal m. Es folgt, daß p = A ∩ m ein Primideal mit f ∈ / p ist. Sei p ein Primideal in einem kommutativen Ring A.

M i−1 −−→ M i − → M i+1 → . . zerfällt in i i−1 i kurze exakte Sequenzen: Ist N = im φ = ker φ , haben wir kurze exakte Sequenzen 0 → N i → M i → N i+1 → 0 für alle i. 7. Sei A ein kommutativer Ring. Eine Sequenz E : M → − M− →M → 0 von A-Moduln ist genau dann exakt, wenn für alle A-Moduln N auch Hom(E, N ) : 0 → ψ∗ φ∗ Hom(M , N ) −→ Hom(M, N ) −→ Hom(M , N ) exakt ist. Beweis. 1. Wir zeigen eine Richtung: Sei die Hom-Sequenz exakt für alle N . Wir wählen N = coker ψ. Ist π : M → N die kanonische Projektion, so ist π ◦ ψ = 0.

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