Algebra: Für Studierende der Mathematik, Physik, Informatik by Gisbert Wüstholz

By Gisbert Wüstholz

Dieses Buch ist eine moderne Einf?hrung in die Algebra, kompakt geschrieben und mit einem systematischen Aufbau. Der textual content kann f?r eine ein- bis zweisemestrige Vorlesung benutzt werden und deckt alle Themen ab, die f?r eine breite Algebra Ausbildung notwendig sind (Ringtheorie, K?rpertheorie) mit den klassischen Fragen (Quadratur des Kreises, Aufl?sung durch Radikale, Konstruktionen mit Zirkel und Lineal) bis zur Darstellungstheorie von endlichen Gruppen und einer Einf?hrung in Algebren und Moduln.

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Gilt n = m, so kann man diese Aktion auf die Untergruppe einschranken, die aus den Diagonalementen (g, g), 9 E GL(n, e) besteht, und erhalt daraus die bereits bekannte adjungierte Aktion. 30 Die Gruppe operiert auf der oberen Halbebene SJ = {z E C; Im(z) und z E C 'Y. z = (az > O}, wenn wir fiir + b)(cz + d)-1 1 Gruppen 20 setzen. Denn es gilt + b)(cz + d)lcz + dl- 2 ) Icz + dl- 2 1m ((az + b)(cz + d)) 1mb· z) 1m ((az Icz + dl- 2 lm(z) . Die Gruppe G operiere auf der Menge M. Man nennt die Menge Gm = {gm; 9 E G} den Orbit, die Bahn oder auch Nebenklasse von m unter G in M und Gm = {g E G; gm = m} die Stabilisator- Untergruppe von m, kurz den Stabilisator von m.

Er ist, wenn er endlich ist, offensichtlich das kleinste gemeinsame Vielfache der Ordnungen der Elemente der Gruppe. Wir werden nun den friiher angedeuteten Zusammenhang mit der Ordnung der Gruppe aufklaren. G. Wüstholz, Algebra © Friedr. 2 2 Die Satze von Sylow Der Exponent einer endlichen Gruppe Gist ein Teiler der Ordnung IGI. 45) teilt die Ordnung jedes Elements g E G die Gruppenordnung IGI und darum gilt dasselbe auch fUr deren kleinstes gemeinsames Vielfache, den Exponenten von G. 3 Die Gruppenordnung einer endlichen abel chen Gruppe G teilt eine Potenz des Exponenten von G.

H 1 )(n2, h2) = (nlP(hd(n2), h 1 h2) eine Gruppenoperation liefert. Die Gruppe, die man auf diese Weise erhalt, heiBt das semidirekte Produkt N ~ H von N und H beziiglich p. 24. Beschreibe die Zerlegung in Bahnen von X = ~3 beziiglich der Aktion (A,x) I-t Ax von G = SO(3) auf X. Wie sieht der Stabilisator des ersten kanonischen Basisvektors el aus? 25. ) operiere auf ~2 vermoge (t, (x, y)) I-t (tx, y/t). Beschreibe die Bahnen dieser Aktion sowie die zugehorigen Stabilisatoren. zu K apitel 1. 5 26.

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