Algebra by Prof. Dr. Ernst Kunz (auth.)

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Inhalt
Inhalt: Konstruktion mit Zirkel und Lineal - Auflösung algebraischer Gleichungen - Algebraische und transzendente Körpererweiterungen - Teilbarkeit in Ringen - Irreduzibilitätskriterien - Ideale und Restklassenringe - Fortsetzung der Körpertheorie - Separable und inseparable algebraische Körpererweiterungen - Normale und galoissche Körpererweiterungen - Der Hauptsatz der Galoistheorie - Gruppentheorie - Fortsetzung der Galoistheorie - Einheitswurzelkö rper (Kreisteilungskörper) - Endliche Körper (Galois-Felder) - Au flösung algebraischer Gleichungen durch Radikale.

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Wie wir in § 1 gesehen haben, handelt es sich bei dem Konstruktionsproblem darum, festzustellen ob die zu konstruierenden Punkte z E C Elemente spezieller Radikalerweiterungen sind, nämlich von Körpererweiterungen, die durch sukzessive Adjunktion von Quadratwurzeln aus einem Grundkörper gewonnen werden können, der durch die Konstruktionsdaten bestimmt ist. Zu beiden Problemen wird die Galoistheorie die entscheidenden Aussagen liefern. In ihrer heutigen Form ist die Galoistheorie eine Theorie algebraischer Körpererweiterungen.

5) Sei L/ K eine algebraische Körpererweiterung und R C L ein Unterring mit K C R. Dann ist R ein Teilkörper von L. 6) Jede Radikalerweiterung L/ /{ ist algebraisch. 1 gilt [L : K] ~ 7) Ist n gerade und > 0 zerlegen. n fi i=1 r;. > 2, so läßt sich xn- 1 + ·· ·+X+ 1 in zwei Faktoren vom Grad 31 Übungen 8) a) Das Polynom f := X 3 - X+ 1 E Q [X] besitzt keine Nullstelle in Q. b) Sei z eine Nullstelle von f in C und a := 2 - 3z + 2z 2 • Zeigen Sie, daß a =f. 0 ist und stellen Sie a- 1 als eine Linearkombination der Potenzen von z mit Koeffizienten aus Q dar.

P~ mit irreduziblen Elementen Pi, pj (i = 1, ... , m,j = 1, ... , n). Es gilt dann PI · ... · PmP~ · ... · p~ = p . h wobei h eme Einheit oder ein Produkt irreduzibler Elemente ist. Nach der Eindeutigkeitsaussage in c) folgt, daß ein i E {1, ... ,m} existiert mit p ~Pi oder ein jE {1, ... ,n} mit p ~ pj. h. p ist ein Primelement. Im folgenden sei R ein faktorieller Ring. 20b) zerfällt die Menge aller Primelemente von R in Klassen assoziierter Primelemente. Sei P ein Repräsentantensystem für diese Klassen.

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